Question

17．已知函數(shù)f（x）=-4^x+2^x+1+2．
（1）求f（x）在[-1，1]上的值域；
（2）若關于x的函數(shù)F（x）=f（x）-m在[-1，1]上恰有一個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設t=2^x，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，g（t）=-t²+2t+2=-（t-1）²+3，運用二次函數(shù)性質(zhì)求解；
（2）由（1）可知m=3或2≤m＜$\frac{11}{4}$時，關于x的函數(shù)F（x）=f（x）-m在[-1，1]上恰有一個零點．

解答 解：（1）∵設t=2^x，t∈[$\frac{1}{2}$，2]
∴g（t）=-t²+2t+2=-（t-1）²+3，對稱軸為t=1，
g（1）=3，g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{11}{4}$，g（2）=2
∴函數(shù)f（x）=-4^x+2^x+1+2的值域：[2，3]．
（2）由（1）可知m=3或2≤m＜$\frac{11}{4}$時，
關于x的函數(shù)F（x）=f（x）-m在[-1，1]上恰有一個零點．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，換元法求解函數(shù)的值域，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．