Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在處的切線與直線平行.

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)()是函數(shù)的兩個極值點，若，試求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1； （Ⅱ）； （Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合平行線的斜率相等，得f′（1）=2，即可求得實數(shù)a的值；

（Ⅱ）由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求解b的取值范圍；

（Ⅲ）結(jié)合（Ⅱ），可知兩個極值點，，求出，令t，構(gòu)造出函數(shù)；再根據(jù)，求得函數(shù)的定義域，進而利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可.

（Ⅰ）∵，∴.

∵切線與直線平行，

∴，∴.

（Ⅱ）易得()，

∴ ().

由題意，知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,等價于在上有解，

∵，則故可設(shè).

而，所以，要使在上有解，

則只須， 即，

故所求實數(shù)的取值范圍是.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

令，得.

∵()是函數(shù)的兩個極值點，

∴()是方程的兩個根，

∴，.

∴

令，∵，∴，

且.

∵，∴，

∴

化簡整理，得,解得或.

而，∴.

，∴函數(shù)在單調(diào)遞減，

∴.

故的最小值為.