已知方程
|cosx|
x
=k在(0,+∞)上有兩個不同的解α、β(α<β),則下列的四個命題正確的是( 。
A、sin2α=2αcos2α
B、cos2α=2αsin2α
C、sin2β=-2βsin2β
D、cos2β=-2βsina2β
考點(diǎn):余弦函數(shù)的圖象
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:將方程
|cosx|
x
=k轉(zhuǎn)化為|cosx|=kx,作出兩個函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合,以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論.
解答:解:∵
|cosx|
x
=k,∴|cosx|=kx,
∴要使方程
|cosx|
x
=k(k>0)在(0,+∞)上有兩個不同的解,則y=|cosx|的圖象與直線y=kx(k>0)在(0,+∞)上
有且僅有兩個公共點(diǎn),
所以直線y=kx與y=|cosx|在(
π
2
,π)內(nèi)相切,且切于點(diǎn)(β,-cosβ),此時(shí)y=|cosx|=-cosx.
∴切線的斜率為sinβ=
-cosβ
β
,∴βsinβ=-cosβ,
∴2βsinβsinβ=2sinβcosβ,
∴sin 2β=-2βsin2β,
故選:C.
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某程序框圖如圖所示,現(xiàn)輸入如下四個函數(shù),則可以輸出的函數(shù)是( 。
A、f(x)=x•tanx
B、f(x)=x2+1
C、f(x)=x2+
1
x3
D、f(x)=x3•cosx

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

袋子里有3顆白球,4顆黑球,5顆紅球.由甲、乙、丙三人依次各抽取一個球,抽取后不放回.若每顆球被抽到的機(jī)會均等,則甲、乙、丙三人所得之球顏色互異的概率是(  )
A、
1
4
B、
1
3
C、
2
7
D、
3
11

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將120°化為弧度為( 。
A、
π
3
B、
3
C、
4
D、
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量
OA
=(3sinα,cosα),
OB
=(2sinα,5sinα-4cosα),α∈(
2
,2π),且
OA
OB
,則tanα值為( 。
A、-
4
3
B、-
4
5
C、
4
5
D、
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=cos(
x
3
+
π
4
)在區(qū)間
 
上是減函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平行四邊形ABCD中,
AD
=(2,8),
AB
=(-3,4),對角線AC與BD相交于點(diǎn)M,則
AM
的坐標(biāo)為( 。
A、(-
1
2
,6)
B、(-
1
2
,6)
C、(
1
2
,-6)
D、(
1
2
,6)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=sinπx+cos(πx-
π
6
),則f(x)具有性質(zhì)是( 。
A、圖象的一個對稱中心為(
5
6
,0)
B、圖象的一個對稱軸為直線x=
5
6
C、最小正周期為1
D、最大值為2,最小值為-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知命題p:函數(shù)y=sin4x是最小正周期為
π
2
的周期函數(shù),命題q:函數(shù)y=tanx在(
π
2
,π)上單調(diào)遞減,則下列命題為真命題的是( 。
A、p∧q
B、(¬p)∨q
C、(¬p)∧(¬q)
D、(¬p)∨(¬q)

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