Question

某次體育比賽團(tuán)體決賽實(shí)行五場(chǎng)三勝制，且任何一方獲勝三場(chǎng)比賽即結(jié)束．甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)最終進(jìn)人決賽，根據(jù)雙方排定的出場(chǎng)順序及以往戰(zhàn)績(jī)統(tǒng)計(jì)分析，甲隊(duì)依次派出的五位選手分別戰(zhàn)勝對(duì)手的概率如表：

出場(chǎng)順序	1號(hào)	2號(hào)	3號(hào)	4號(hào)	5號(hào)
獲勝概率	1 2	p	q	1 2	2 5

若甲隊(duì)3：0獲勝的率是

1

8

，比賽至少打滿(mǎn)4場(chǎng)的概率為

3

4

•
（Ⅰ）求p、q的值；
（Ⅱ）若勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得-l分，求甲隊(duì)總得分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：

1 2 pq= 1 8 1- 1 8 -(1- 1 2 )(1-p)(1-q)= 3 4

，從而可求p、q的值；
（Ⅱ）ξ的取值為6，5，4，1，-1，-3，求出相應(yīng)的概率，即可求甲隊(duì)總得分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：

1 2 pq= 1 8 1- 1 8 -(1- 1 2 )(1-p)(1-q)= 3 4

，解得p=q=

1

2

；
（Ⅱ）ξ的取值為6，5，4，1，-1，-3，則
P（ξ=6）=

1

8

；P（ξ=5）=

C

1 3

•

1

2

•

1

2

•

1

2

•

1

2

=

3

16

；P（ξ=4）=

C

2 4

(1-

1

2

)2•(

1

2

)2•

2

5

=

3

20

；P（ξ=1）=

C

2 4

•(

1

2

)2•(1-

1

2

)2•(1-

2

5

)=

9

40

；
P（ξ=-1）=

C

1 3

•

1

2

•(1-

1

2

)3=

3

16

；P（ξ=-3）=(1-

1

2

)3=

1

8

，
∴ξ的分布列為

ξ	6	5	4	1	-1	-3
P	1 8	3 16	3 20	9 40	3 16	1 8

數(shù)學(xué)期望Eξ=6×

1

8

+5×

3

16

+4×

3

20

+1×

9

40

+（-1）×

3

16

+（-3）×

1

8

=

39

20

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查分布列和數(shù)學(xué)期望，正確理解變量的取值的含義是關(guān)鍵．