【題目】已知正方體的棱長為，其內(nèi)有2個(gè)不同的小球，球與三棱錐的四個(gè)面都相切，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切，則球的體積等于______，球的表面積等于______．

【答案】

【解析】

由題意可知三棱錐是邊長為的正四面體,則球是三棱錐的內(nèi)切球,設(shè)其半徑為,由，可知,設(shè)平面平面,且球和球均與平面相切于點(diǎn),則球是正四面體的內(nèi)切球,設(shè)其半徑為,則,最后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

因?yàn)檎襟w的棱長為,

所以三棱錐是邊長為的正四面體,的高為,

設(shè)底面的中心為,連接,則,,

則球是三棱錐的內(nèi)切球,設(shè)其半徑為,

則有

所以,

所以球的體積為,

又球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切,

則設(shè)平面平面,且球和球均與平面相切于點(diǎn),如下圖所示,

則球是三棱錐的內(nèi)切球,設(shè)其半徑為,

故,

因此在正四面體中,,

所以球的表面積為,

故答案為:;.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】新型冠狀病毒肺炎是一種急性感染性肺炎，其病原體是一種先前未在人類中發(fā)現(xiàn)的新型冠狀病毒，即2019新型冠狀病毒.2020年2月7日，國家衛(wèi)健委決定將“新型冠狀病毒感染的肺炎”暫命名為“新型冠狀病毒肺炎”，簡稱“新冠肺炎”.患者初始癥狀多為發(fā)熱、乏力和干咳，并逐漸出現(xiàn)呼吸困難等嚴(yán)重表現(xiàn).基于目前流行病學(xué)調(diào)查，潛伏期為1~14天，潛伏期具有傳染性，無癥狀感染者也可能成為傳染源.某市為了增強(qiáng)民眾防控病毒的意識(shí)，舉行了“預(yù)防新冠病毒知識(shí)競(jìng)賽”網(wǎng)上答題，隨機(jī)抽取人，答題成績統(tǒng)計(jì)如圖所示.

（1）由直方圖可認(rèn)為答題者的成績服從正態(tài)分布，其中分別為答題者的平均成績和成績的方差，那么這名答題者成績超過分的人數(shù)估計(jì)有多少人？（同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值作代表）

（2）如果成績超過分的民眾我們認(rèn)為是“防御知識(shí)合格者”，用這名答題者的成績來估計(jì)全市的民眾，現(xiàn)從全市中隨機(jī)抽取人，“防御知識(shí)合格者”的人數(shù)為，求.（精確到）

附：①，；②，則，；③，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“新冠肺炎”爆發(fā)后，某醫(yī)院由甲、乙、丙、丁、戊5位醫(yī)生組成的專家組到某市參加抗擊疫情.五位醫(yī)生去乘高鐵，按規(guī)定每位乘客在進(jìn)站前都需要安檢，當(dāng)時(shí)只有3個(gè)安檢口開通，且沒有其他旅客進(jìn)行安檢.5位醫(yī)生分別從3個(gè)安檢口進(jìn)行安檢，每個(gè)安檢口都有醫(yī)生去安檢且不同的安檢順序視為不同的安檢，則甲、乙2位醫(yī)生不在同一個(gè)安檢口進(jìn)行安檢的概率為_____.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍..

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知以線段EF為直徑的圓內(nèi)切于圓O：x2+y2＝16．

（1）若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣2，0），求點(diǎn)E的軌跡C的方程；

（2）在（1）的條件下，軌跡C上存在點(diǎn)T，使得，其中M，N為直線y＝kx+b（b≠0）與軌跡C的交點(diǎn)，求△MNT的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】福利彩票“雙色球”中紅色球由編號(hào)為的個(gè)球組成.某彩民利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取組數(shù)作為個(gè)紅色球的編號(hào)，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表（如下）第行的第列數(shù)字開始從左向右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第個(gè)紅色球的編號(hào)為（ ）

49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 64

57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒有，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）判斷在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.（提示：）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；

(Ⅱ)若，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.

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