Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的函數(shù)，滿足f（x）=f（4-x），且對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有（x₁-x₂）[f（x₁+2）-f（x₂+2）]＞0，則滿足f（2-x）=f（$\frac{3x+11}{x+4}$）的所有x的和為（　�。�

• A． -3
• B． -5
• C． -8
• D． 8

Answer 1

分析 確定f（x）在（2，+∞）上遞增，函數(shù)關(guān)于x=2對(duì)稱，利用f（2-x）=f（$\frac{3x+11}{x+4}$），可得2-x=$\frac{3x+11}{x+4}$，或2-x+$\frac{3x+11}{x+4}$=4，即x²+5x+3=0或x²+3x-3=0，利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有（x₁-x₂）[f（x₁+2）-f（x₂+2）]＞0，
∴f（x）在（2，+∞）上遞增，
又∵f（x）=f（4-x），
∴f（2-x）=f（2+x），
即函數(shù)關(guān)于x=2對(duì)稱，
∵f（2-x）=f（$\frac{3x+11}{x+4}$），
∴2-x=$\frac{3x+11}{x+4}$，或2-x+$\frac{3x+11}{x+4}$=4，
∴x²+5x+3=0或x²+3x-3=0，
∴滿足f（2-x）=f（$\frac{3x+11}{x+4}$）的所有x的和為-8，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性、單調(diào)性，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．