Question

16．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+…+（2n-1）=n²（n∈n^*）

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，去證明等式成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答 證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，
∴左邊=右邊
②假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k²
當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左邊=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k²+（2k+1）=（k+1）²．
由①②可知1+3+5+…+（2n-1）=n²對(duì)n∈N^*等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立，用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟是：第一步驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時(shí)命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．本題解題的關(guān)鍵是利用第二步假設(shè)中結(jié)論證明當(dāng)n=k+1時(shí)成立，本題是一個(gè)中檔題目．