Question

如圖，在三棱柱中， ，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在線段上，，且使直線和平面所成的角的正弦值為，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）連接交于點(diǎn)，連接，得到∥，進(jìn)一步可得∥平面.                          

（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：在三棱柱中，

連接交于點(diǎn)，連接，則是的中點(diǎn)

在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，

所以∥，                   

又，，

所以∥平面.                          （5分）

（Ⅱ）在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)

所以，又，是平面內(nèi)的相交直線，

所以平面，可知.                （7分）

又，是平面內(nèi)的相交直線，交點(diǎn)是D，

知平面. 平面

在三棱柱中，為線段上的點(diǎn)，

過分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接

由平面，，得

又，、是平面內(nèi)的相交直線

所以平面，

是在平面內(nèi)的射影，

是直線和平面所成的角.                （12分）

設(shè)，由得，

可得，

所以在中，, 解得 （14分）

考點(diǎn)：三棱柱的幾何特征，平行關(guān)系，垂直關(guān)系，角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，立體幾何問題中，平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角、距離、面積、體積等的計(jì)算，是常見題型，基本思路是將空間問題轉(zhuǎn)化成為平面問題，利用平面幾何知識(shí)加以解決。要注意遵循“一作，二證，三計(jì)算”。利用“向量法”，通過建立空間直角坐標(biāo)系，往往能簡化解題過程。