Question

選修4-5：不等式選講
設(shè)f（x）=|x-a|，a∈R．
（I）當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，f（x）≤3，求a的取值范圍；
（II）若對(duì)任意x∈R，f（x-a）+f（x+a）≥1-2a恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，f（x）=|x-a|≤3，即a-3≤x≤a+3．由此建立關(guān)于a的不等關(guān)系能求出a的取值范圍．
（II）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得|x-2a|+|x|最小值就是2|a|，若f（x-a）+f（x+a）≥1-2a對(duì)x∈R恒成立，則只要滿(mǎn)足2|a|≥1-2a，由此能求出實(shí)數(shù)a的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=|x-a|≤3，即a-3≤x≤a+3．
依題意，

a-3≤-1 a+3≥3

由此得a的取值范圍是[0，2]．…（4分）
（Ⅱ）f（x-a）+f（x+a）=|x-2a|+|x|≥|（x-2a）-x|=2|a|．…（6分）
當(dāng)且僅當(dāng)（x-2a）x≤0時(shí)取等號(hào)．
解不等式2|a|≥1-2a，得a≥

1

4

．
故a的最小值為

1

4

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的解集的求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意零點(diǎn)分段討論法和絕對(duì)值不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用．