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已知a，b，c都是正數，則
ab+2bca2+b2+c2
的最大值為
 
．
分析：設
ab+2bc
a2+b2+c2
=
ab+2bc
a2+kb2+(1-k)b2+c2
≤
ab+2bc
2
k
ab+2
1-k
bc
（0＜k＜1）．令2
k
=
1-k
，解得k即可得出．
解答：解：設
ab+2bc
a2+b2+c2
=
ab+2bc
a2+kb2+(1-k)b2+c2
≤
ab+2bc
2
k
ab+2
1-k
bc
（0＜k＜1）．
令2
k
=
1-k
，解得k=
1
5
．
∴
ab+2bc
a2+b2+c2
≤
ab+2bc
2
5
(ab+2bc)
=
5
2
，
且僅當2b=
5
c=2
5
a取等號．
因此
ab+2bc
a2+b2+c2
的最大值為
5
2
．
故答案為：
5
2
．
點評：本題考查了基本不等式的性質和“配湊法”，屬于難題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a，b，c都是正實數，求證（1）
a2
b
≥2a-b，(2)
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥a+b+c．

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科目：高中數學 來源： 題型：

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ab
，則使4a+b≥c恒成立的c的取值范圍是
（0，36]
（0，36]
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

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（Ⅰ）已知x，y都是正實數，求證：x3+y3≥x2y+xy2；
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13
(a2+b2+c2)(a+b+c)．

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已知a、b、c都是正整數且abc=8，求證：log2（2+a）+log2（2+b）+log2（2+c）≥6．

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