Question

【題目】巳知函數(shù)，，其中.

(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；

(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

(3)記，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）參考解析

【解析】

試題（1）由函數(shù)，所以可得，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，即.

（2）因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把變量分離，求函數(shù)的最值即可.

（3）由即可得到，，按的降冪寫(xiě)成二次三項(xiàng)的形式，然后再配方，即可得到.再用放縮法即可得到結(jié)論.

試題解析：(1)由，

得，

∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，

∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)為函數(shù)的極值點(diǎn)，所以．

(2)∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴在區(qū)間上恒成立，

∴對(duì)區(qū)間恒成立，

令，則

當(dāng)時(shí)，，有，

∴的取值范圍為．

(3) 解法1：

，令，

則

令，則，

顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則，則，

故．

解法2：

則表示上一點(diǎn)與直線(xiàn)上一點(diǎn)距離的平方．

由得，讓，解得，

∴直線(xiàn)與的圖象相切于點(diǎn)，

（另解：令，則，

可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，則，

直線(xiàn)與的圖象相切于點(diǎn)），

點(diǎn)（1，0）到直線(xiàn)的距離為，

則．