【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且。

（1）證明：，并求的通項(xiàng)公式；

（2）構(gòu)造數(shù)列求證：無(wú)論給定多么大的正整數(shù)，都必定存在一個(gè)，使.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由及，得。由，及，得。

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：，即 .①

（i）當(dāng)時(shí)，由，，知①成立。

（ii）假設(shè)時(shí)，①成立，即，，有，約去得.移項(xiàng)并代入得

.②則 。

約去得.約去得，

移項(xiàng)并代入得.②由式②、③知，當(dāng)時(shí)，①成立，綜上得證式①成立。

合并得，這就證明了，且求出了通項(xiàng)。

（2）把代入，對(duì)有

。

因?yàn)?/span> ，

所以，對(duì)于給定的正整數(shù)，存在一個(gè)，使 。

說明：第（1）問用公式可得 ，

但需，才能推出，

此解法特點(diǎn)是“證明，并求的通項(xiàng)公式”同時(shí)進(jìn)行。

第（2）問的一個(gè)背景是調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，證明不是唯一的。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線的斜率為，且原點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若不經(jīng)過點(diǎn)的直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，且與圓相切.試探究的周長(zhǎng)是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

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【題目】由數(shù)字1，2，3，4，5，6組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，偶數(shù)共有______個(gè)，其中個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的偶數(shù)共有______個(gè)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)恰好是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且兩條曲線交點(diǎn)的連線過點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓 的右頂點(diǎn)，離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知（異于點(diǎn)）為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作線段的垂線交橢圓于點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為， 的離心率

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，過點(diǎn)作軸的垂線，試判斷直線與直線的交點(diǎn)是否恒在一條定直線上？若是，求該定直線的方程；否則，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)與在內(nèi)恰有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）令，如果圖象與軸交于，中點(diǎn)為，求證:.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將一枚棋子放在一個(gè)的棋盤上，記為從左、上數(shù)第行第列的小方格，求所有的四元數(shù)組，使得從出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)小方格恰一次到達(dá)（每步為將棋子從一個(gè)小方格移到與之有共同邊的另一個(gè)小方格）.

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【題目】某籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為，他想提高自己的投籃水平，制定了一個(gè)夏季訓(xùn)練計(jì)劃為了了解訓(xùn)練效果，執(zhí)行訓(xùn)練前，他統(tǒng)計(jì)了10場(chǎng)比賽的得分，計(jì)算出得分的中位數(shù)為15分，平均得分為15分，得分的方差為執(zhí)行訓(xùn)練后也統(tǒng)計(jì)了10場(chǎng)比賽的得分，成績(jī)莖葉圖如圖所示：

請(qǐng)計(jì)算該籃球運(yùn)動(dòng)員執(zhí)行訓(xùn)練后統(tǒng)計(jì)的10場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)、平均得分與方差；

如果僅從執(zhí)行訓(xùn)練前后統(tǒng)計(jì)的各10場(chǎng)比賽得分?jǐn)?shù)據(jù)分析，你認(rèn)為訓(xùn)練計(jì)劃對(duì)該運(yùn)動(dòng)員的投籃水平的提高是否有幫助？為什么？

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