Question

已知兩點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=

2

|F1F2|．
（1）求曲線C的方程；
（2）曲線C上是否存在點(diǎn)M，使得

MF1

•

MF2

=3？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：|MF₁|+|MF₂|=

2

|F₁F₂|=4

2

＞|F₁F₂|=4，所以曲線C是以F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4

2

的橢圓，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）假設(shè)橢圓C存在點(diǎn)M滿足題意，設(shè)M（x，y），可得：

MF1

•

MF2

=x2+y2-4=3，再利用點(diǎn)在橢圓上所以有：x²=8-2y²，進(jìn)而根據(jù)兩個(gè)方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)得到答案．

解答：解：（1）因?yàn)閨F₁F₂|=4，|MF₁|+|MF₂|=

2

|F₁F₂|=4

2

＞|F₁F₂|=4，
所以曲線C是以F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4

2

的橢圓，
所以a=2

2

，c=2，所以b²=4，
曲線C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）假設(shè)橢圓C存在點(diǎn)M，使得

MF1

•

MF2

=3．
證明：設(shè)M（x，y），則

MF1

=(-2-x，-y)，

MF2

=(2-x，-y)，
所以

MF1

•

MF2

=x2+y2-4．
因?yàn)?span id="bp75rxx" class="MathJye">

x2

8

+

y2

4

=1，所以x²=8-2y²，
所以

MF1

•

MF2

=4-y2，令4-y²=3，解得：y=±1，所以x=±

6

．
所以滿足題意的點(diǎn)共有四個(gè)：M1(

6

，1)，M2(

6

，-1)，M3(-

6

，1)，M4(-

6

，-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的定義與橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，以及向量的數(shù)量積．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解題．