Question

【題目】已知直線 ，若存在實(shí)數(shù) 使得一條曲線與直線 由兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且以這兩個(gè)交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長度恰好等于 ，則稱此曲線為直線 的“絕對(duì)曲線”.下面給出的四條曲線方程：

① ；② ；③ ；④ .

其中直線 的“絕對(duì)曲線”的條數(shù)為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】依題意可知，直線恒過定點(diǎn).對(duì)于①，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，如圖所示，所以直線與其只能有一個(gè)交點(diǎn)，故滿足題意的不存在，故① 不符合題意；

對(duì)于② ，方程的圖象為以點(diǎn)為圓心的圓，因此直線過圓心，直線與圓兩個(gè)交點(diǎn)所組成的線段長為，故當(dāng)，直線或，直線斜率的絕對(duì)值等于截線段長度，即存在，故② 符合題意；對(duì)于③ ，此曲線為一個(gè)橢圓，定點(diǎn)在橢圓上，將直線方程代入可得，所以，若曲線是直線的“絕對(duì)曲線”，則，即，化簡得，令，則問題轉(zhuǎn)化為存在，使得成立，因?yàn)?/span>，且為連續(xù)函數(shù)，所以在區(qū)間存在零點(diǎn)，即存在實(shí)根，故③符合題意；對(duì)于④，首先明確兩個(gè)極限情況： ，此時(shí)斜率絕對(duì)值無窮大，截線段長度為有限值； ，此時(shí)斜率絕對(duì)值為零，且當(dāng)斜率絕對(duì)值趨于零時(shí)，截線段長度趨于無窮大；若將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可見斜率絕對(duì)值變化趨勢(shì)為由正無窮單調(diào)遞減至零，截線段長度變化趨勢(shì)為從一有限值趨于正無窮（變化過程不一定單調(diào)），設(shè)為斜率絕對(duì)值變化情況， 為線段長度變化情況， 為轉(zhuǎn)動(dòng)角度，做出示意圖如下：

必存在某一轉(zhuǎn)動(dòng)角度使得與圖象相交，即存在使得直線斜率的絕對(duì)值等于截線段長度，故④符合題意，直線 的“絕對(duì)曲線”的條數(shù)為4，故選C.