Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²-（a-1）x-a²
（1）若a=3，x∈[0，2]，求f（x）的最值；
（2）若a＜0，不等式sin²x+acosx+a²≥1+cosx的解集為R，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4，x∈[0，2]，由于對稱軸為x=1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出值域．
（2）不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosx的一元二次不等式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象列不等式組求得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4，x∈[0，2]，
∴對稱軸為x=1，
∴函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=-4，f（x）_max=f（0）=-3，
故值域?yàn)閇-4，-3]
（2）不等式等價(jià)于1-cos²x+acosx+a²-1-cosx≥0，恒成立，
整理得-cos²x+（a-1）cosx+a²≥0，
設(shè)cosx=t，則-1≤t≤1，
g（t）=-t²+（a-1）t+a²，要使不等式恒成立需
$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=-1+a-1+{a}^{2}≥0}\\{g（-1）=-1+a+1+{a}^{2}≥0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，
解得a≤-2，
故a的取值范圍為（-∞，-2]

點(diǎn)評 本題主要考查了一元二次不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)．注重了對數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用和問題的分析．