Question

【題目】如圖拋物線的焦點為，為拋物線上一點（在軸上方），，點到軸的距離為4.

（1）求拋物線方程及點的坐標；

（2）是否存在軸上的一個點，過點有兩條直線，滿足，交拋物線于兩點.與拋物線相切于點（不為坐標原點），有成立，若存在，求出點的坐標.若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），； （2）存在點.

【解析】

（1）由拋物線的定義，可得，且，求得，即可得到拋物線的方程，進而得到A點的坐標；

（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，由，解得，

得到，再由的方程為，聯(lián)立方程組，求得，，結(jié)合，即可得到結(jié)論.

（1）由拋物線的焦點為，滿足，點到軸的距離為4，由拋物線的定義，可得，且，解得，

所以拋物線的方程為，

令，解得，

又由在軸上方，所以，即.

（2）假設(shè)存在點M，可知直線的斜率存在，

設(shè)的方程為，

聯(lián)立方程組，整理得，

由，解得，

此時切點，可得，

因為，所以的方程為，

聯(lián)立，整理得，

所以，

由可得，，解得，

所以存在點，符合題意.