20.設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2.若橢圓上存在點P使∠F1PF2=90°.則橢圓的離心率的取值范圍是$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e<1.

分析 當(dāng)動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運(yùn)動時,P對兩個焦點的張角∠F1PF2漸漸增大,當(dāng)且僅當(dāng)P點位于短軸端點P0處時,張角∠F1PF2達(dá)到最大值,由此可得結(jié)論.

解答 解:如圖,當(dāng)動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運(yùn)動時,P對兩個焦點的張角∠F1PF2漸漸增大,當(dāng)且僅當(dāng)P點位于短軸端點P0處時,張角∠F1PF2達(dá)到最大值.由此可得:
∵存在點P為橢圓上一點,使得∠F1PF2=90°,
∴△P0F1F2中,∠F1P0F2≥90°,
∴Rt△P0OF2中,∠OP0F2≥45°,
所以P0O≤OF2,即b≤c,
∴a2-c2≤c2,可得a2≤2c2,
∴$\frac{c}{a}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵0<e<1,
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e<1.
故答案為:$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e<1.

點評 本題考查了直角三角形的三角函數(shù)和橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識點,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn=33n-n2
(1)求{an}的通項公式;
(2)問{an}的前多少項和最大;
(3)設(shè)bn=|an|,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn′.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.已知△ABC是銳角三角形,若A=2B,則$\frac{a}$的取值范圍是( 。
A.($\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$)B.($\sqrt{2}$,2)C.(1,$\sqrt{3}$)D.(1,2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的一部數(shù)學(xué)專著,書中有如下問題:今有女子善織,日增等尺,七日織28尺,第二日,第五日,第八日所織之和為15尺,則第九日所織尺數(shù)為( 。
A.8B.9C.10D.11

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

15.如圖,矩形ABCD中,AB=2,BC=4,將△ABD沿對角線BD折起到△A′BD的位置,使點A′在平面BCD內(nèi)的射影點O恰好落在BC邊上,則異面直線A′B與CD所成角的大小為90°.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

5.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上用小石子排成多邊形,從而研究“多邊形數(shù)”,如圖甲的三角形數(shù)1,3,6,10,15,…,第n個三角形數(shù)為1+2+3+…+n=$\frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}$n,又如圖乙的四邊形數(shù)1,4,9,16,25,…,第n個四邊形數(shù)為1+3+5+…+(2n-1)=$\frac{n(1+2n-1)}{2}={n^2}$,以此類推,圖丙的五邊形數(shù)中,第n個五邊形數(shù)為$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{1}{2}n$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=(x+a)ex+2(其中a∈R,e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…).
(Ⅰ) 求a的值;
(Ⅱ) 若x∈[-1,2]時,方程f(x)=m有實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.計算:$\frac{1{2}^{0}-{3}^{2}×{6}^{-1}×{2}^{2}}{-{3}^{-2}}$×5-1=9.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.設(shè){an}是首項為a1,公比為q的等比數(shù)列,則“a1q>0”是“{an}為遞增數(shù)列”的( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案