Question

定義域為的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若對，均有，則稱函數(shù)為上的夢想函數(shù)．
（Ⅰ）已知函數(shù)，試判斷是否為其定義域上的夢想函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）已知函數(shù)（，）為其定義域上的夢想函數(shù)，求的取值范圍；
（Ⅲ）已知函數(shù)（，）為其定義域上的夢想函數(shù)，求的最大整數(shù)值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）的取值范圍是；（Ⅲ）的最大整數(shù)值為．

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題中“夢想函數(shù)”的定義判斷函數(shù)是否為“夢想函數(shù)”；（Ⅱ）根據(jù)“夢想函數(shù)”的定義結(jié)合參數(shù)分離法將問題轉(zhuǎn)化型的恒成立問題，等價轉(zhuǎn)化為去處理，但需定義域的開閉對參數(shù)的取值范圍的影響；（Ⅲ）根據(jù)“夢想函數(shù)”的定義結(jié)合參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為恒成立問題處理，在轉(zhuǎn)化的過程中，若兩邊同時除以，注意對的取值符號分正負(fù)以及進(jìn)行討論，從而得出參數(shù)的取值范圍，進(jìn)而確定的最大整數(shù)值.
試題解析：（Ⅰ）函數(shù)不是其定義域上的夢想函數(shù)．      1分
理由如下：
定義域，，      2分
存在，使，故函數(shù)不是其定義域上的夢想函數(shù)．  4分
（Ⅱ），，若函數(shù)在上為夢想函數(shù)，
則在上恒成立，      5分
即在上恒成立，
因為在內(nèi)的值域為，      7分
所以．      8分
（Ⅲ），由題意在恒成立，
故，即在上恒成立．
①當(dāng)時，顯然成立；     9分
②當(dāng)時，由可得對任意恒成立.
令，則， 10分
令，
則．
當(dāng)時，因為，所以在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，因為，所以在單調(diào)遞增．
∵，，
∴當(dāng)時，的值均為負(fù)數(shù).
∵，，
∴當(dāng)時，
有且只有一個零點，且.       11分
∴當(dāng)時，，所以，可得在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，所以，可得在單調(diào)遞增．
則．    12分
因為，所以，
．    13分
∵在單調(diào)遞增，，，
∴，
所以，即．
又因為，所以的最大整數(shù)值為．    14分