【題目】設(shè)區(qū)間D=[﹣3,3],定義在D上的函數(shù)f(x)=ax3+bx+1(a>0,b∈R),集合A={a|x∈D,f(x)≥0}.
(1)若b= ,求集合A;
(2)設(shè)常數(shù)b<0 ①討論f(x)的單調(diào)性;
②若b<﹣1,求證:A=

【答案】
(1)解:當(dāng)b= 時(shí),f(x)= ,f′(x)= >0,

∴f(x)在[﹣3,3]上為增函數(shù),則 =

,解得a

∴A={a|x∈D,f(x)≥0}=(0, ]


(2)解:①解:f(x)=ax3+bx+1,f′(x)=3ax2+b,

∵a>0,b<0,

∴由f′(x)=3ax2+b=0,得 >0,則x=

若27a+b≤0,則 ,則f′(x)≤0在[﹣3,3]上恒成立,f(x)在[﹣3,3]上為減函數(shù);

若27a+b>0,則當(dāng)x∈[﹣3, )∪( ,3]時(shí),f′(x)>0,

當(dāng)x∈( )時(shí),f′(x)<0.

∴函數(shù)的增區(qū)間為[﹣3, ),( ,3],減區(qū)間為( );

②證明:當(dāng)b<﹣1時(shí),由①可知,當(dāng)0<a≤ 時(shí),f(x)在[﹣3,3]上單調(diào)遞減,

∴f(x)min=f(3)=27a+3b+1≤﹣b+3b+1=2b+1<﹣1<0,

這與x∈D,f(x)≥0恒成立矛盾,故此時(shí)實(shí)數(shù)a不存在;

當(dāng)a>﹣ 時(shí),f(x)在[﹣3, ),( ,3]上遞增,在( )上遞減,

∴f(x)min={f(﹣3),f( )},

若f(﹣3)=﹣27a﹣3b+1<0,這與x∈D,f(x)≥0恒成立矛盾,故此時(shí)實(shí)數(shù)a不存在;

若f(﹣3)=﹣27a﹣3b+1>0,令 ,此時(shí)f(x1)=

又f′(x1)= ,則

f(x1)= =

下面證明 ,也即證﹣4b3>27a,

∵a>﹣ ,且﹣27a﹣3b+1>0,即27a<﹣3b+1.

再證﹣4b3>﹣3b+1,

令g(b)=4b3﹣3b+1,則g′(b)=12b2﹣3>0(b<﹣1),

∴g(b)在(﹣∞,﹣1]上單調(diào)遞增,則g(b)<g(﹣1)=0.

即f(x1)<0,這與x∈D,f(x)≥0恒成立矛盾,故此時(shí)實(shí)數(shù)a不存在.

綜上所述,A=


【解析】(1)把b= 代入函數(shù)解析式,求出導(dǎo)函數(shù),由f′(x)= >0,可知f(x)在[﹣3,3]上為增函數(shù),求出函數(shù)的最小值,由最小值大于0求得a的取值范圍;(2)①求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),解得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),然后根據(jù) 與3的關(guān)系分類求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;②當(dāng)b<﹣1時(shí),由①可知,當(dāng)0<a≤ 時(shí),f(x)在[﹣3,3]上單調(diào)遞減,求得函數(shù)的最小值小于0,這與x∈D,f(x)≥0恒成立矛盾,故此時(shí)實(shí)數(shù)a不存在; 當(dāng)a>﹣ 時(shí),由①可得f(x)min={f(﹣3),f( )},若f(﹣3)=﹣27a﹣3b+1<0,這與x∈D,f(x)≥0恒成立矛盾,故此時(shí)實(shí)數(shù)a不存在;若f(﹣3)=﹣27a﹣3b+1>0,證明f( )<0,這與x∈D,f(x)≥0恒成立矛盾,故此時(shí)實(shí)數(shù)a不存在.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)過點(diǎn)( ,1),且以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)M(x,y)是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),P(p,0)是x軸上的定點(diǎn),求|MP|的最小值及取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2y28x150,若直線ykx2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最大值是____________

【答案】

【解析】C的方程可化為(x4)2y21C的圓心為(4,0),半徑為1.由題意知,直線ykx2上至少存在一點(diǎn)A(x0,kx02),以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),存在x0∈R,使得AC≤11成立,即ACmin≤2.

ACmin即為點(diǎn)C到直線ykx2的距離,

≤2,解得0≤k≤.k的最大值是.

型】填空
結(jié)束】
15

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線

(1)若直線與直線平行,求實(shí)數(shù)的值;

(2)若 ,點(diǎn)在直線上,已知的中點(diǎn)在軸上,求點(diǎn)的坐標(biāo).

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(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若f(α﹣ )= ,求f(2α+ )的值.

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(II)求函數(shù) 的極值.

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【題目】已知函數(shù) ,
(I)求 的單調(diào)區(qū)間;
(II)若對(duì)任意的 ,都有 ,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

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①將f(2),f(3),f(5)按從小到大排列為;
②函數(shù)gx)= x> 0)的最大值為

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(Ⅰ)求證 ∥平面 ;
(Ⅱ)求直線 與平面 所成的角;
(Ⅲ)求四棱錐 的外接球的體積.

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(1)求函數(shù)的解析式;

(2)將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象,若圖象的一個(gè)對(duì)稱軸為,求的最小值;

(3)在第(2)問的前提下,求函數(shù)上的單調(diào)區(qū)間.

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同步練習(xí)冊(cè)答案