Question

已知函數f（x）=x|x-a|+b，g（x）=x+c（其中a、b、c為常數）
（1）當a=3，b=2，c=4時，求函數F（x）=f（x）-g（x）在[3，+∞）上的值域；
（2）當a=3，b=2，c=4時，判斷函數G（x）=f（x）•g（x）在[3，+∞）上的單調性，并加以證明；
（3）當b=4，c=2時，方程f（x）=g（x）有三個不同的解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解（1）F（x）=f（x）-g（x）=x²-4x-2=（x-2）²-6--------------------------（3分）
F（x）在[3，+∞）上單調遞增，------------------------（4分）
當x∈[3，+∞）時，F（x）的值域為[-5，+∞）-------------------------------------------------（6分）
（2）G（x）=f（x）•g（x）=（x²-3x+2）（x+4）=x³+x²-10x+8---------------------------------------（8分）
對任意x₁，x₂∈[3，+∞），且x₁＜x₂
由G（x₁）-G（x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²+x₁+x₂-10）＜0
知G（x）=f（x）•g（x）在[3，+∞）上的單調遞增．-----------------------------------------（12分）
（3）由f（x）=g（x）得x|x-a|+4=x+2即x|x-a|=x-2
令，p（x）=x-2--------------------（14分）
由圖象容易得到
當a=0時，兩圖象只有一個交點，不合題意；
當a＜0時，由x²-（a+1）x+2=0，令
所以，當時，符合題意----------------------------------（16分）
當a＞0時，令p（x）=x-2=0?x=2，所以要使得兩圖象有三個交點，必須a＞2，
所以當或a＞2時，方程f（x）=g（x）有三個不同的解；----------------------（18分）

分析：（1）根據條件，寫出函數F（x）=f（x）-g（x），利用配方法可知F（x）在[3，+∞）上單調遞增，從而可求函數的值域；
（2）寫出G（x）=x³+x²-10x+8，再用定義法證明即可；
（3）利用圖象法求解，由f（x）=g（x）得x|x-a|+4=x+2即x|x-a|=x-2，構造兩個函數，在同一坐標系中，作出它們的圖象，從而得解．
點評：本題的考點是函數與方程的綜合運用，主要考查函數的單調性，函數的值域，考查方程解的研究，關鍵是合理構造函數，合理轉化．