在平面直角坐標系xOy中，經過點(0，
2
)且斜率為k的直線l與橢圓
x2
2
+y2=1有兩個不同的交點P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量
OP
+
OQ
與
AB
共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．
（Ⅰ）由已知條件，直線l的方程為y=kx+
2
，
代入橢圓方程得
x2
2
+(kx+
2
)2=1．
整理得(
1
2
+k2)x2+2
2
kx+1=0①
直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于△=8k2-4(
1
2
+k2)=4k2-2＞0，
解得k＜-
2
2
或k＞
2
2
．即k的取值范圍為(-∞，-
2
2
)∪(
2
2
，+∞)．
（Ⅱ）設P（x1，y1），Q（x2，y2），則
OP
+
OQ
=(x1+x2，y1+y2)，
由方程①，x1+x2=-
4
2
k
1+2k2
． ②
又y1+y2=k(x1+x2)+2
2
． ③
而A(
2
，0)，B(0，1)，
AB
=(-
2
，1)．
所以
OP
+
OQ
與
AB
共線等價于x1+x2=-
2
(y1+y2)，
將②③代入上式，解得k=
2
2
．
由（Ⅰ）知k＜-
2
2
或k＞
2
2
，
故沒有符合題意的常數(shù)k．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，雙曲線中心在原點，焦點在y軸上，一條漸近線方程為x-2y=0，則它的離心率為（　�。�
A、
5
B、
5
2
C、
3
D、2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為
x=2t-1 
y=4-2t .
（參數(shù)t∈R），以直角坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立相應的極坐標系．在此極坐標系中，若圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ，則圓心C到直線l的距離為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（坐標系與參數(shù)方程） 在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為
x=2cosθ
y=2sinθ+2
 （參數(shù)θ∈[0，2π）），若以原點為極點，射線ox為極軸建立極坐標系，則圓C的圓心的極坐標為
 
，圓C的極坐標方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•廣東）在平面直角坐標系xOy中，直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于A、B兩點，則弦AB的長等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．
（Ⅰ）若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，求sin（α+β）的值；
（Ⅱ） 若|AB|=
3
2
，求
OA
•
OB
的值．

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