已知函數f(x)=(2x2-kx+k)•e-x.
(1)當k為何值時,f(x)無極值;
(2)試確定實數k的值,使f(x)的極小值為0.
分析:對函數求導整理可得,
f′(x)=-2(x-2)(x-) e-x(1)f(x)無極值?函數沒有單調性的改變?f′(x)≤0恒成立,從而可求k
(2)由(1)可得k≠4,分k>4,k<4討論函數的單調性,進而求出函數的極小值,使其滿足為0,從而可求k
解答:解:(1)∵f′(x)=(4x-k)e
-x-(2x
2-kx+k)e
-x
=[-2x
2+(k+4)x-2k]e
-x=
-2(x-2)(x-)e-x∴k=4時,f′(x)=-2(x-2)
2e
-x≤0,此時,f(x)無極值.(5分)
(2)當k≠4時,由f′(x)=0得x=2或
x=.
當x變化時,f′(x)、f(x)的變化如下表:
①當k<4,即
<2時
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②當k>4,即
>2時
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∴k<4時,由
f()=0得
2×-+k=0,
∴k=0k>4時,由f(2)=0得8-k=0,∴k=8
綜上所述,k=0或8時,f(x)有極小值0.(12分)
點評:本題主要考查了導數的應用:利用導數求函數的單調性及函數的最值,而利用導數判定時,關鍵要看導函數的符號的變化.屬于基礎知識的考查.