己知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-
1
2

(1)求實數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
2n2-n-1
4(n+1)
(n∈N*.n≥2)
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)由已知:f(x)=
1
x
-a
,由題知f(2)=
1
2
-a=-
1
2
,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a及f (x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)要證明
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
2n2-n-1
4(n+1)
(n∈N*.n≥2),只須證
ln22
22
+
ln32
32
+…+
lnn2
n2
2n2-n-1
2(n+1)
.由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和裂項求和法進行證明即可.
解答: (1)解:由已知:f(x)=
1
x
-a
,∴由題知f(2)=
1
2
-a=-
1
2
,
解得a=1.∴f(x)=
1
x
-1=
1-x
x
,
當x∈(0,1)時,f′(x)>0,f (x)為增函數(shù),
當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f (x)為減函數(shù),
即f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).
(2)證明:要證明
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
2n2-n-1
4(n+1)
(n∈N*.n≥2),
只須證
2ln2
22
+
2ln3
32
+…+
2lnn
n2
2n2-n-1
2(n+1)
,
只須證
ln22
22
+
ln32
32
+…+
lnn2
n2
2n2-n-1
2(n+1)

由(Ⅰ)當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f (x)為減函數(shù),
f (x)=lnx-x+1≤0,即lnx≤x-1,
∴當n≥2時,lnn2<n2-1,
lnn2
n2
n2-1
n2
=1-
1
n2
<1-
1
n(n+1)
=1-
1
n
+
1
n+1
,
ln22
22
+
ln32
32
+…+
lnn2
n2
<(1-
1
2
+
1
2+1
)+(1-
1
3
+
1
3+1
)+…+(1-
1
n
+
1
n+1

=n-1-
1
2
+
1
n+1
=
2n2-n-1
2(n+1)
,
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
2n2-n-1
4(n+1)
(n∈N*,n≥2).
點評:本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,同時考查推理論證能力,分類討論等綜合解題能力.
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已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且an和Sn滿足Sn=
1
2
(an2+an),n∈N*
(1)求{an}的通項公式;
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1
2
nan,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,若不等式(-1)nλ<Tn+
n
2n
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π
4

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1
2t
),(x∈R,t>0).

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3
4+a•2-t
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(1)求f(t)的表達式,計算f(0)并說明f(0)的含義;
(2)若定義
f(t)
2t-1
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1
3
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4
3

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(2)若A∩B=A,求實數(shù)a的取值范圍.

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