Question

11．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且$\sqrt{3}a（1-2{sin^2}\frac{C}{2}）=（2b-\sqrt{3}c）cosA$．
（1）求角A的大小；
（2）若$b=2\sqrt{3}，c=4$，D是BC的中點(diǎn)，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、和差公式即可得出．
（2）解法一：由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=4，可得a=2，再利用勾股定理的逆定理可得$C=\frac{π}{2}$，再利用余弦定理即可得出．
解法二：由$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由$\sqrt{3}a（1-2{sin^2}\frac{C}{2}）=（2b-\sqrt{3}c）cosA$．
利用正弦定理可得，$\sqrt{3}sinAcosC=2sinBcosA-\sqrt{3}sinCcosA$，
從而可得$\sqrt{3}sin（A+C）=2sinBcosA，\sqrt{3}sinB=2sinBcosA$．
又B為三角形的內(nèi)角，所以sinB≠0，于是$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又A為三角形內(nèi)角，∴$A=\frac{π}{6}$．
（2）解法一：由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=4⇒a=2，
又∵${a^2}+{b^2}={2^2}+{（2\sqrt{3}）^2}=16={c^2}$，∴△ABC是直角三角形，$C=\frac{π}{2}$，
∴$A{D^2}=A{C^2}+C{D^2}=（2\sqrt{3}{）^2}+{1^2}=13$，∴$AD=\sqrt{13}$．
解法二：∵$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴${\overrightarrow{AD}^2}=\frac{1}{4}{（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）^2}=\frac{1}{4}（{c^2}+2bccosA+{b^2}）=13$，
∴$AD=\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、勾股定理的逆定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．