【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，右焦點為F，橢圓與y軸的正半軸交于點B，且|BF|= ．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若斜率為1的直線l經(jīng)過點（1，0），與橢圓E相交于不同的兩點M，N，在橢圓E上是否存在點P，使得△PMN的面積為 ，請說明理由．

【答案】
（1）解：由題意， ，得c=1，∴b2=a2﹣c2=1．

則橢圓E的方程為：


（2）解：存在．

設點P（x，y），直線l的方程為y=x﹣1．

由 ，得M（0，﹣1），N（ ），

則|MN|= ．

則點P到直線l的距離為 ．

設過點P與直線l平行的直線l1：y=x+m．

聯(lián)立 ，得3x2+4mx+2m2﹣2=0．

由△=16m2﹣12（2m2﹣2）=0，解得m= ．

當m= 時，l與l1之間的距離為 ＞1；

當m=﹣ 時，l與l1之間的距離為 ＜1．

則在橢圓E上存在點P，使得△PMN的面積為


【解析】（1）由題意求得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）設出P點坐標及直線l的方程，由△PMN的面積為 求得點P到直線l的距離為1，再設出過點P與直線l平行的直線l1：y=x+m．與橢圓方程聯(lián)立，由判別式等于0求得m值，再結(jié)合兩平行線間的距離公式求出l與l1之間的距離，與1比較得答案．

練習冊系列答案
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④存在點D，使得四面體DABC是正棱錐；
⑤存在無數(shù)個點D，使得AD與BC垂直且相等．
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