Question

（理）如圖所示，已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)S（0，

1

3

）且斜率為k的動(dòng)直線l交曲線E于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)G，滿足

GP

=

GA

+

GB

使四邊形NAPB為矩形？若存在，求出G的坐標(biāo)和四邊形NAPB面積的最大值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先判斷NP為AM的中垂線，從而可得|CN|+|AN|=2

2

，故可知?jiǎng)狱c(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（-1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，由此可得曲線E的方程；
（2）動(dòng)直線l的方程為：y=kx-

1

3

與橢圓方程聯(lián)立，消元可得（2k²+1）x²-

3

4

kx-

16

9

=0，假設(shè)在y上存在定點(diǎn)G（0，m），使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，則

GA

•

GB

=0恒成立，故可得點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而可得四邊形NAPB面積，利用基本不等式，可確定最值．

解答：解：（1）∵

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，
∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|．
又∵|CN|+|NM|=2

2

∴|CN|+|AN|=2

2

＞2
∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（-1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓．
且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=2

2

，焦距2c=2
∴a=

2

，c=1，∴b²=1
∴曲線E的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）動(dòng)直線l的方程為：y=kx-

1

3

與橢圓方程聯(lián)立，消元可得（2k²+1）x²-

3

4

kx-

16

9

=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4k

3(2k2+1)

，x1x2=-

16

9(2k2+1)

假設(shè)在y上存在定點(diǎn)G（0，m），滿足題設(shè)，則

GA

=（x₁，y₁-m），

GB

=（x₂，y₂-m），
∴

GA

•

GB

=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=

18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)

9(2k2+1)

由假設(shè)得對(duì)于任意的k∈R，

GA

•

GB

=0恒成立，∴m²-1=0且9m²+m-15-0，解得m=1．
因此，在y軸上存在定點(diǎn)G，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，1）
這時(shí)，點(diǎn)G到AB的距離d=

4

3 k2+1

|AB|=

(k2+1)(x1-x2)2

S_GAPB=|AB|d=

4

3

(x1-x2)2

=

16

9

9k2+4 (2k2+1)2

設(shè)2k²+1=t，則k2=

t-1

2

，得t∈[1，+∞），

1

t

∈(0，1]
所以S_GAPB=

16

9

1 2 [ 81 4 -( 1 t - 9 2 )2]

≤

32

9

，當(dāng)且僅當(dāng)

1

t

=1時(shí)，上式等號(hào)成立．
因此，四邊形NAPB面積的最大值是

32

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題是直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題的考查，是綜合題有一定的難度，考查利用圓錐曲線的定義求曲線方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．