【題目】已知函數(shù)y=x+ 有如下性質(zhì):如果常數(shù)t>0,那么該函數(shù)在 上是減函數(shù),在 上是增函數(shù).
(1)已知f(x)= ,x∈[﹣1,1],利用上述性質(zhì),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域;
(2)對于(1)中的函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)=﹣x﹣2a,若對任意x1∈[﹣1,1],總存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求實數(shù)a的值.
【答案】
(1)解:y= =x+2+ ﹣6;
設(shè)u=x+2,x∈[﹣1,1],1≤u≤3,u=x+2為增函數(shù);
則y=u+ ﹣6,u∈[1,3];
由已知性質(zhì)得,①當(dāng)1≤u≤2,即﹣1≤x≤0時,f(x)單調(diào)遞減;
∴f(x)的減區(qū)間為[﹣1,0];
②當(dāng)2≤u≤3,即0≤x≤1時,f(x)單調(diào)遞增;
∴f(x)的增區(qū)間為[0,1];
由f(﹣1)=﹣1,f(0)=﹣2,f(1)= ;
得f(x)的值域為[﹣2,﹣1]
(2)解:g(x)=﹣x﹣2a為減函數(shù),x∈[0,1];
故g(x)∈[﹣1﹣2a,﹣2a];
由題意,f(x)的值域是g(x)的值域的子集;
∴ ;
∴ ;
即實數(shù)a的值為
【解析】(1)根據(jù)條件,先變形f(x)= ,可令x+2=u,1≤u≤3,而函數(shù)u=x+2為增函數(shù),從而根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及已知的性質(zhì)便可得出f(x)的減區(qū)間為[﹣1,0],增區(qū)間為[0,1],進一步便可得出f(x)的值域為[﹣2,﹣1];(2)根據(jù)題意便知f(x)的值域為g(x)的子集,而容易求出g(x)的值域為[﹣1﹣2a,﹣2a],從而得出 ,這樣即可得出實數(shù)a的值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣a)2lnx(a為常數(shù)).
(1)若f(x)在(1,f(1))處的切線與直線2x+2y﹣3=0垂直.
(。┣髮崝(shù)a的值;
(ⅱ)若a非正,比較f(x)與x(x﹣1)的大。
(2)如果0<a<1,判斷f(x)在(a,1)上是否有極值,若有極值是極大值還是極小值?若無極值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點在以為直徑的圓上, 垂直與圓所在平面, 為的垂心.
(1)求證:平面平面;
(2)若,點在線段上,且,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(),數(shù)列的前項和為,點在圖象上,且的最小值為.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)數(shù)列滿足,記數(shù)列的前項和為,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), (, 為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)試討論函數(shù)的極值情況;
(2)證明:當(dāng)且時,總有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,兩點P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)間的“L﹣距離”定義為|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.現(xiàn)將邊長為1的正三角形ABC按如圖所示的方式放置,其中頂點A與坐標(biāo)原點重合.記邊AB所在直線的斜率為k,0≤k≤ .求:當(dāng)|BC|取最大值時,邊AB所在直線的斜率的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù),(是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)討論函數(shù)極值點的個數(shù);
(Ⅱ)若,且命題“,”是假命題,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知集合M={﹣1,1,2,4}N={0,1,2}給出下列四個對應(yīng)法則,其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)是( )
A.y=x2
B.y=x+1
C.y=2x
D.y=log2|x|
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