Question

（2012•佛山二模）已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-

3

，0），而且過點(diǎn)H（

3

，

1

2

）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，P是橢圓上異于A₁，A₂的任一點(diǎn)，直線OT與過點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為G．證明：線段OT的長為定值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-

3

，0），而且過點(diǎn)H（

3

，

1

2

），建立方程，即可求得橢圓E的方程；
（2）先計(jì)算|OM|•|ON|，再利用切割線定理可得線段OT的長度．

解答：（1）解：由題意，得：

a2-b2=3 3 a2 + 1 4 b2 =1

，∴

a2=4 b2=1

∴橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）證明：由（1）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），設(shè)P（x₀，y₀），
直線PA₁：y-1=

y0-1

x0

x，令y=0，得xN=

-x0

y0-1

；
直線PA₂：y+1=

y0+1

x0

x，令y=0，得xM=

-x0

y0+1

；
則|OM|•|ON|=|

-x0

y0-1

|×|

-x0

y0+1

|=

x02

y02-1

，
∵

x02

4

+y02=1，
∴|OM|•|ON|=4，由切割線定理得|OT|²=|OM|•|ON|=4
所以|OT|=2，即線段OT的長度為定值2．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓與橢圓為綜合，考查線段長的求解，認(rèn)真審題，挖掘隱含是關(guān)鍵．