已知向量m=(sinA，  
1
2
)與n=(3，  sinA+
3
cosA)共線，其中A是△ABC的內(nèi)角．
（1）求角A的大小；
（2）若BC=2，求△ABC面積S的最大值，并判斷S取得最大值時(shí)△ABC的形狀．
分析：（1）根據(jù)向量平行得出角2A的等式，然后根據(jù)兩角和差的正弦公式和A為三角形內(nèi)角這個(gè)條件得到A．
（2）根據(jù)余弦定理代入三角形的面積公式，判斷等號(hào)成立的條件．
解答：解：（1）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
m
∥
n
，所以sinA•(sinA+
3
cosA)-
3
2
=0；
所以
1-cos2A
2
+
3
2
sin2A-
3
2
=0，
即
3
2
sin2A-
1
2
cos2A=1，
即sin(2A-
π
6
)=1．
因?yàn)锳∈（0，π），所以2A-
π
6
∈(-
π
6
，  
11π
6
)．
故2A-
π
6
=
π
2
，A=
π
3
；
（2）由余弦定理，得4=b2+c2-bc．
又S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
4
bc，
而b2+c2≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立）
所以S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
4
bc≤
3
4
×4=
3
；
當(dāng)△ABC的面積取最大值時(shí)，b=c．又A=
π
3
；
故此時(shí)△ABC為等邊三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題為三角函數(shù)公式的應(yīng)用題目，屬于中檔題
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，則sin2θ的值為
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，設(shè)函數(shù)f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后將圖象向下平移
1
2
個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間上[0，
3π
4
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，當(dāng)θ∈[0，π]時(shí)，函數(shù)f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面積．

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