Question

已知．
（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；
（2）求證：恒成立；
（3）求證：．（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

（1）的最大值為0；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）設(shè)，求導(dǎo)利用單調(diào)性即可得其最大值；.
（2）由（1）得，，變形即得左邊的不等式：.右邊不等式顯然不宜直接作差，故考慮作適當(dāng)?shù)淖冃?為了證右邊，設(shè).求導(dǎo)得.的符號(hào)還不能直接確定.為了確定的符號(hào)，再設(shè)，求導(dǎo)得，所以即由此可知即，從而原命題得證；（3）首先看看所證不等式與第（2）題有何聯(lián)系.對(duì)照待證不等式，可將（2）題中的不等式變形為：.顯然取，得.右邊易證如下：；左邊則應(yīng)考慮做縮小變形.由于左邊為，故將縮為一個(gè)等差數(shù)列.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d3/0/yosk01.png" style="vertical-align:middle;" />，所以考慮把縮小為.
當(dāng)時(shí)，，這樣累加，再用等差數(shù)列的求和公式即可使問(wèn)題得證.
試題解析：（1）設(shè)，則
，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故的最大值為；  （4分）
（2）由（1）得，對(duì)，都有，即，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/31/e/xddec4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.                          （6分）
設(shè)，則
.
設(shè)，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故即.
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故即，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/31/e/xddec4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
從而原命題得證.                           （9分）
（3）由（2）得，，
令，得.
所以；  （11分）
另一方面，當(dāng)時(shí)，，
所以
從而命題得證.                             （14分）
考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；2、不等式的證明.