Question

19．已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為該數(shù)列的前項(xiàng)和，${a_1}=1，2{S_n}={a_n}•{a_{n+1}}（{N∈{n^*}}）$，滿足不等式${log_2}（{1+\frac{1}{a_1}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_2}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_n}}）＞5$的正整數(shù)n的最小值為32．

Answer 1

分析 利用數(shù)列遞推關(guān)系與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，利用“累乘求積”與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵${a_1}=1，2{S_n}={a_n}•{a_{n+1}}（{N∈{n^*}}）$，∴2×1=1×a₂，解得a₂=2．
n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n（a_n+1-a_n-1），a_n＞0，化為：a_n+1-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差為2．
∴a_2k-1=1+2（k-1）=2k-1，a_2k=2+2（k-1）=2k，k∈N^*．
∴a_n=n．
∴$（1+\frac{1}{{a}_{1}}）$$•（1+\frac{1}{{a}_{2}}）$•…$•（1+\frac{1}{{a}_{nz}}）$=$\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×$…×$\frac{n+1}{n}$=n+1．
∴不等式${log_2}（{1+\frac{1}{a_1}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_2}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_n}}）＞5$化為：log₂（n+1）＞5，解得n+1＞2⁵，
因此滿足不等式${log_2}（{1+\frac{1}{a_1}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_2}}）+{log_2}（{1+\frac{1}{a_n}}）＞5$的正整數(shù)n的最小值為32．
故答案為：32．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“累乘求積”與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．