Question

8．若數(shù)列{a_n}滿足$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=d（n∈N^*，d為常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列{a_n}為調(diào)和數(shù)列．
（1）已知數(shù)列{a_n}為調(diào)和數(shù)列．且滿足a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$．求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{（2n+1）b_n}為調(diào)和數(shù)列，且b₁=$\frac{1}{3}$，b₂=$\frac{1}{15}$，求{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}為調(diào)和數(shù)列．故{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列，利用通項(xiàng)公式即可得出．
（2）數(shù)列{（2n+1）b_n}為調(diào)和數(shù)列，故$\frac{1}{（2n+1）_{n}}$-$\frac{1}{（2n-1）_{n-1}}$=d（n≥2）．由b₁=$\frac{1}{3}$，b₂=$\frac{1}{15}$，可得：d=2，故$\{\frac{1}{（2n+1）_{n}}\}$是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，可得b_n，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}為調(diào)和數(shù)列．故{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列，
又$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}$=2-1=1，
故{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，
故a_n=$\frac{1}{n}$．
（2）數(shù)列{（2n+1）b_n}為調(diào)和數(shù)列，故$\frac{1}{（2n+1）_{n}}$-$\frac{1}{（2n-1）_{n-1}}$=d（n≥2）．
由b₁=$\frac{1}{3}$，b₂=$\frac{1}{15}$，可得：d=$\frac{1}{5×\frac{1}{15}}$-$\frac{1}{3×\frac{1}{3}}$=3-1=2，
故$\{\frac{1}{（2n+1）_{n}}\}$是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
故$\frac{1}{（2n+1）_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、調(diào)和數(shù)列、數(shù)列遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．