如圖, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn), (I)求證:AC⊥BC1; (II)求證:AC 1//平面CDB1;
解析:(1)證明線線垂直方法有兩類:一是通過三垂線定理或逆定理證明,二是通過線面垂直來證明線線垂直;(2)證明線面平行也有兩類:一是通過線線平行得到線面平行,二是通過面面平行得到線面平行.
答案:解法一:(I)直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三邊長AC=3,BC=4AB=5,
∴ AC⊥BC,且BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC,∴ AC⊥BC1;
(II)設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E,連結(jié)DE,∵ D是AB的中點(diǎn),E是BC1的中點(diǎn),
∴ DE//AC1,∵ DE平面CDB1,AC1平面CDB1,
∴ AC1//平面CDB1;
解法二:∵直三棱柱ABC-A1B1C1底面三邊長AC=3,BC=4,AB=5,∴AC、BC、C1C兩兩垂直,如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),直線CA、CB、C1C分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)
(1)∵=(-3,0,0),=(0,-4,0),∴•=0,∴AC⊥BC1.
(2)設(shè)CB1與C1B的交戰(zhàn)為E,則E(0,2,2).∵=(-,0,2),=(-3,0,4),∴,∴DE∥AC1.
點(diǎn)評(píng):
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面面平行線面平行線線平行;
主要依據(jù)是有關(guān)的定義及判定定理和性質(zhì)定理.
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