Question

4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，且c=$\sqrt{7}$，
（1）求角C
（2）求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式，結合C是三角形的內角，可求C；
（2）利用余弦定理，求得ab的最大值，再利用三角形的面積公式，即可求得結論．

解答 解：（1）∵4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，
∴2[1-cos（A+B）]-2cos²C+1=$\frac{7}{2}$，
∴2+2cosC-2cos²C=$\frac{5}{2}$，
∴cos²C-cosC+$\frac{1}{4}$=0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）由c=$\sqrt{7}$，
由余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-7}{2ab}$，
∴ab=a²+b²-7，
∵a²+b²≥2ab（當且僅當a=b取得等號），
∴ab≥2ab-7，即ab≤7，
即有S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$×7×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．
當a=b時，△ABC的面積的最大值為$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查二倍角余弦公式的運用，余弦定理和基本不等式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．