Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$在x=1處取得極值．
（1）求a的值，并討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥$\frac{m}{1+x}$恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m≤$\frac{（1+x）（1+lnx）}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）由題意得f′（x）=$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，
所以f'（1）=1-a=0即a=1，∴f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
令f'（x）＞0，可得0＜x＜1，令f'（x）＜0，可得x＞1，
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）由題意要使x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥$\frac{m}{1+x}$恒成立，
即m≤$\frac{（1+x）（1+lnx）}{x}$，記h（x）=$\frac{（1+x）（1+lnx）}{x}$，則m≤[h（x）]_min，
h′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，又令g（x）=x-lnx，
則g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，又x≥1，所以g′（x）=1-$\frac{1}{x}$≥0，
所以g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
即g（x）≥g（1）=1＞0，
∴h′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$＞0，
即h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以[h（x）]_min=h（1）=2，
∴m≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．