Question

對于函數(shù)y=f（x）的定義域為D，如果存在區(qū)間[m，n]⊆D同時滿足下列條件：①f（x）在[m，n]是單調(diào)的；②當定義域為[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]，則稱區(qū)間[m，n]是該函數(shù)的“H區(qū)間”．若函數(shù)f（x）=

alnx-x(x＞0) -x -a(x≤0)

存在“H區(qū)間”，則正數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（

  1

  4

  ，1]∪（2e，e²]
• B、（

  3

  4

  ，1]∪（2e，e²]
• C、（

  1

  4

  ，3]∪（e，e²]
• D、（

  3

  4

  ，2]∪（e，e²]

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)定義，利用分段函數(shù)結(jié)合函數(shù)的圖象函數(shù)的最值求出a的范圍即可．

解答： 解：當x＞0時，f（x）=alnx-x，
f′（x）=

a

x

-1=

a-x

x

，
由f′（x）≥0，
得

a-x

x

≥0，得0＜x≤a，此時函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當x=n時，取得最大值，
當x=m時，取最小值，
即

alnn-n=n alnm-m=m

，
即方程alnx-x=x有兩個解，
即方程a=

2x

lnx

有兩個解，作出y=

2x

lnx

的圖象，
由圖象以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知，
當x＞1時，y=

2x

lnx

，在x=e處取得最小值2e，
在x=a時，y=

2a

lna

，
故方程a=

2x

lnx

有兩個解，
∴a≤

2a

lna

，
解得a≤e²，正數(shù)a的取值范圍是（2e，e²]．
當x＞a時，函數(shù)f（x）為單調(diào)減函數(shù)，
則當x=m時，取得最大值，
當x=n時，取得最小值，
即

alnn-n=m alnm-m=n

，
兩式相減可得，alnm-alnn=0，即m=n，不符合；
當x≤0時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
則當x=m時取最大值，
當x=n時，取得最小值，
即

-m -a=n -n -a=m

，兩式相減，
可以得到

-m

+

-n

=1，回代到方程組的第一個式子得到
1-

-n

-a=n，
整理得到1-

-n

-n=a，
由圖象可知，方程有兩個解，
則

3

4

＜a≤1，
綜上正數(shù)a的取值范圍是（

3

4

，1]∪（2e，e²]，
故選：B

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用以及函數(shù)的最值考查數(shù)形結(jié)合，綜合性較強．