Question

為了保護(hù)學(xué)生的視力,教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換,已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下表:

天數(shù)	151～180	181～210	211～240	241～270
燈管數(shù)	1	11	18	20
天數(shù)	271～300	301～330	331～360	361～390
燈管數(shù)	25	16	7	2

(1)試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命;

(2)若定期更換,可選擇多長時(shí)間統(tǒng)一更換合適?

Answer 1

【探究】總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差往往是很難求,甚至是不可求的,通常的做法就是用樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.只要樣本的代表性好,這種做法就是合理的.

【解析】(1)各組中值分別為165,195,225,255,285,315,345,375.

    由此可算得平均數(shù)約為

165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天).

(2)將各組中值對于此平均數(shù)求方差:

×［1×(165-268)²+11×(195-268)²+18×(225-268)²+20×(255-268)²+25×(285-

268)²+16×(315-268)²+7×(345-268)²+2×(375-268)²］=2 128.60(天²)

    故標(biāo)準(zhǔn)差為≈46(天).

    所以估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命約為268天,標(biāo)準(zhǔn)差約為46天,故可在222天到314天左右統(tǒng)一更換較合適.

規(guī)律總結(jié)

(1)在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上,方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的,但是在解決實(shí)際問題時(shí),一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

(2)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差是工業(yè)生產(chǎn)中檢測產(chǎn)品質(zhì)量的重要指標(biāo),當(dāng)樣本的平均數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)差超過了規(guī)定界限的時(shí)候,說明這批產(chǎn)品的質(zhì)量可能距生產(chǎn)要求有較大偏離,應(yīng)該進(jìn)行檢查,找出原因,從而及時(shí)解決問題.

(3)用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù),用樣本方差估計(jì)總體方差,樣本容量越大,估計(jì)就越準(zhǔn)確.