Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)f（x）取得極值-2
（I）求函數(shù)f（x）的解析式并討論單調(diào)性
（II）證明對(duì)任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

Answer 1

分析 （I）由奇函數(shù)的定義利用待定系數(shù)法求得d，再由x=1時(shí)f（x）取得極值-2．解得a，c從而確定函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極大值．
（II）由（I）知，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是減函數(shù)，從而確定|f（x₁）-f（x₂）|最小值，證明即可．

解答 解：（I）∵f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）可得d=0，
∴f（x）=ax³+cx…（2分）
f'（x）=3ax²+c，
當(dāng)x=1時(shí)f（x）取得極值-2，
則$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+c=0}\\{f（1）=a+c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故所求解析式為f（x）=x³-3x．
因此，f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）f'（-1）=f'（1）=0
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（-∞，-1）上是增函數(shù)，
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f'（x）＜0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（-1，1）上是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間（-∞，-1），（1，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間（-1，1）；
（II）證明：由（1）知，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是減函數(shù)，
且f（x）在[-1，1]上的最大值M=f（-1）=2，f（x）在[-1，1]上的最小值m=f（1）=-2
所以，對(duì)任意的x₁，x₂∈（-1，1），恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=2-（-2）=4，
∴不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．