Question

已知命題p：存在x∈[1，4]使得ax²-4ax+4=0成立．命題q：對于任意x∈R，函數f（x）=lg（ax²-ax+4）恒有意義．
（1）若￢p是真命題，求實數a的取值范圍；
（2）若p∨q是真命題，若p∧q是假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：命題p：存在x∈[1，4]使得ax²-4ax+4=0成立．當x=4時，不成立；當x≠4時，利用二次函數的單調性可得a=

-4

x2-4x

=-

4

(x-2)2-4

＞0．
命題q：對于任意x∈R，函數f（x）=lg（ax²-ax+4）恒有意義．分類討論：當a=0時，當a≠時，則

a＞0 △=a2-16a＜0

，解得a的范圍．
（1）由于￢p是真命題，可得p是假命題，即可得出實數a的取值范圍；
（2）由于p∨q是真命題，p∧q是假命題，可得p與q必然一真一假．

解答： 解：命題p：存在x∈[1，4]使得ax²-4ax+4=0成立．當x=4時，不成立；當x≠4時，a=

-4

x2-4x

=-

4

(x-2)2-4

＞0，∴a＞0．
命題q：對于任意x∈R，函數f（x）=lg（ax²-ax+4）恒有意義．當a=0時，f（x）=lg4滿足條件；當a≠時，則

a＞0 △=a2-16a＜0

，解得0＜a＜16．
∴a的取值范圍是0≤a＜16．
（1）∵￢p是真命題，∴p是假命題，∴a≤0，∴實數a的取值范圍是（-∞，0]；
（2）∵p∨q是真命題，p∧q是假命題，
∴p與q必然一真一假，
當p真q假時，

a＞0 a＜0或a≥16

，解得a≥16．
當q真p假時，

a≤0 0≤a＜16

，解得a=0．
綜上可得實數a的取值范圍是{0}∪[16，+∞）．

點評：本題考查了簡易邏輯的判定、函數的值域、二次函數的單調性、對數函數的單調性，考查了推理能力，屬于中檔題．