【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且，若點E,F分別為AB和CD的中點．

（1）求證：平面平面；

（2）若二面角的平面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理證得平面，再由面面垂直的判定定理證得平面平面；

（2）由二面角的定義及題意可知，，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，，利用即可得解.

（1），為中點，

，

又，平面，平面，，

平面，

又平面ABCD，

平面平面.

（2），，平面平面，

就是二面角的平面角，

所以，

如圖作，垂足為O，

則，所以，，則，

如圖，建立空間直角坐標系，

則，，，，

設平面的法向量為，則

，即，

令，則，

則是平面的一個法向量，，

則.

所以與平面所成角的正弦值.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】空氣質量AQI指數(shù)是反映空氣質量狀況指數(shù)，AQI指數(shù)值越小，表明空氣質量越好，其對應關系如表：

AQI指數(shù)值

空氣質量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

如圖所示的是某市11月1日至20日AQI指數(shù)變化的折線圖：

下列說法不正確的是（ ）

A.這天中空氣質量為輕度污染的天數(shù)占

B.這天中空氣質量為優(yōu)和良的天數(shù)為天

C.這天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略低于

D.總體來說，該市11月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好

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【題目】已知實數(shù)a、b滿足a2+b2-ab＝3．

（1）求a-b的取值范圍；

（2）若ab＞0，求證：．

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【題目】已知.

（1）當時，不等式恒成立，求m的取值范圍；

（2）求證：當時，.

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【題目】已知兩直線方程與，點在上運動，點在上運動，且線段的長為定值.

（Ⅰ）求線段的中點的軌跡方程；

（Ⅱ）設直線與點的軌跡相交于，兩點，為坐標原點，若，求原點的直線的距離的取值范圍.

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【題目】交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準保費）統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：

交強險浮動因素和浮動費率比率表

浮動因素

浮動比率

上一年度未發(fā)生有責任道路交通事故

下浮10%

上兩年度未發(fā)生有責任道路交通事故

下浮

上三年度未發(fā)生有責任道路交通事故

下浮30%

上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故

0%

上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任不涉及死亡的道路交通事故

上浮10%

上一個年度發(fā)生有責任交通死亡事故

上浮30%

某機構為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：

類型

A1

A2

A3

A4

A5

A6

數(shù)量

10

5

5

20

15

5

以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：

（1）按照我國《機動車交通事故責任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定，，記為某同學家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用，求的分布列與數(shù)學期望；（數(shù)學期望值保留到個位數(shù)字）

（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車，假設購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元:

①若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；

②若該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值.

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【題目】已知圓，圓，動圓與圓外切并與圓內切，圓心的軌跡為曲線.

（1）求的方程；

（2）若直線與曲線交于兩點，問是否在軸上存在一點，使得當變動時總有？若存在，請說明理由.

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【題目】如圖，在棱柱中，底面為平行四邊形， ，，且在底面上的投影恰為的中點.

（1）過作與垂直的平面，交棱于點，試確定點的位置，并說明理由；

（2）若點滿足，試求的值，使二面角為.

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【題目】設，函數(shù)，.

（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）求函數(shù)的極值；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點，試求的值.

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