Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E為CD中點(diǎn)．
（1）求證：B₁E⊥AD₁；
（2）在棱AA₁上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
（3）若AB=2，求二面角B-AE-B₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接A₁D，B₁C，證明AD₁⊥平面A₁B₁CD，即可證得結(jié)論；
（2）取AA₁的中點(diǎn)P，AB₁的中點(diǎn)Q，連接PQ，利用三角形的中位線的性質(zhì)，可得線線平行，從而可得線面平行；
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面ABE、AEB₁的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，可得結(jié)論．

解答：（1）證明：連接A₁D，B₁C，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，
∴A₁D⊥AD₁，
∵A₁B₁⊥平面A₁ADD₁，
∴AD₁⊥A₁B₁，
∵A₁D∩A₁B₁=A₁，∴AD₁⊥平面A₁B₁CD，
∵B₁E?平面A₁B₁CD，
∴B₁E⊥AD₁；
（2）解：存在AA₁的中點(diǎn)P，使得DP∥平面B₁AE，證明如下：
取AA₁的中點(diǎn)P，AB₁的中點(diǎn)Q，連接PQ，
則PQ∥A₁B₁，且PQ=

1

2

A₁B₁，
∵DE∥A₁B₁，且DE=

1

2

A₁B₁，∴PQ∥DE且PQ=DE
∴四邊形PQDE為平行四邊形，∴PQ∥DE
又PD?平面AB₁E，QE⊆平面AB₁E
∴PD∥平面AB₁E
此時(shí)AP=

1

2

AA₁；
（3）解：因?yàn)锳B⊥AA₁，AB⊥AD，AA₁⊥AD，建立如圖所示坐標(biāo)系
則A（0，0，0），A₁（0，0，1），B（2，0，0），B₁（2，0，1），E（1，1，0）
∵AA₁⊥平面ABCD，
∴平面ABE的一個(gè)法向量

n1

=（0，0，1）
設(shè)平面AEB₁的法向量為

n2

=(x，y，z)，∵

AE

=(1，1，0)，

AB1

=(2，0，1)
∵由

AE • n 1=0 AB1 • n 2=0

，得

x+y=0 2x+z=0

取x=1，y=-1，z=-2，則平面AEB₁的一個(gè)法向量為

n2

=(1，-1，-2)
∴cos＜

n

1，

n

2＞=

n 1• n 2

| n 1|| n 2|

=

-2

1× 6

=-

6

3

經(jīng)檢驗(yàn)，二面角B-AE-B₁所成平面角為銳角，其余弦值為|cos＜

n

1，

n

2＞|=

6

3

點(diǎn)評：本題考查線面垂直，線面平行，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，掌握線面垂直，線面平行的判定方法是關(guān)鍵．