Question

【題目】對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x），若滿足①f（0）=0；②當(dāng)x∈R，且x≠0時(shí)，都有xf'（x）＞0；③當(dāng)x1≠x2 ， 且f（x1）=f（x2）時(shí)，x1+x2＜0，則稱f（x）為“偏對(duì)稱函數(shù)”． 現(xiàn)給出四個(gè)函數(shù)：g（x）= ；φ（x）=ex﹣x﹣1．
則其中是“偏對(duì)稱函數(shù)”的函數(shù)個(gè)數(shù)為 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】經(jīng)驗(yàn)證，g（x），h（x），Φ（x），φ（x）都滿足條件①； xf′（x）＞0 ，或 ．即條件②等價(jià)于函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
而容易驗(yàn)證g（x）是奇函數(shù)，由及函數(shù)的性質(zhì)可知g（x）在區(qū)間（﹣∞，0）和（0，+∞）上單調(diào)性相同，故g（x）不滿足條件②．
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則知h（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，顯然在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故h（x）滿足條件②．
Φ′（x）=﹣3x2+3x，xΦ′（x）=﹣3x3+3x2=﹣3x2（x﹣1），當(dāng)x＞1時(shí)，xΦ′（x）＜0，故Φ（x）不滿足條件②．
φ′（x）=ex﹣1，xφ′（x）=x（ex﹣1），滿足條件②．
故由條件②可排除g（x）和Φ（x）；
由函數(shù)h（x）的單調(diào)性知：當(dāng)x1≠x2 ， 且h（x1）=h（x2）時(shí)，x1x2＜0，不妨設(shè)x1＜0＜x2 ．
則ln（﹣x1+1）=2x2 ， 設(shè)F（x）=ln（x+1）﹣2x，x＞0．則F′（x）= ＜0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
所以F（x2）＜F（0）=0，即ln（x2+1）＜2x2 ， 即ln（x2+1）＜ln（﹣x1+1），所以x2+1＜﹣x1+1，即x1+x2＜0，故h（x）也滿足條件③，所以h（x）是“偏對(duì)稱函數(shù)”．
由φ（x）的單調(diào)性知當(dāng)x1≠x2 ， 且φ（x1）=φ（x2）時(shí)，x1x2＜0，不妨設(shè)x1＜0＜x2 ．
則 ，﹣x2＜0，φ（x1）﹣φ（﹣x2）=φ（x2）﹣φ（﹣x2）= ．
令F（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，F(xiàn)′（x）= ，當(dāng)且僅當(dāng)ex=e﹣x即x=0時(shí)，“=”成立，
所以F（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，所以F（x2）＞F（0）=0，即φ（x1）﹣φ（﹣x2）＞0，所以φ（x1）＞φ（﹣x2），所以x1＜﹣x2 ， 所以x1+x2＜0．所以φ（x）是“偏對(duì)稱函數(shù)”．
所以答案是：2
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的值和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．