Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁＝3，a_n＋1＝a_n＋p·3ⁿ(n∈N^*，p為常數(shù))，a₁，a₂＋6，a₃成等差數(shù)列．
(1)求p的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n＝，證明：b_n≤.

Answer 1

（1）a_n＝3ⁿ（2）

由a₁＝3，a_n＋1＝a_n＋p·3ⁿ，得a₂＝3＋3p，a₃＝a₂＋9p＝3＋12p.
∵a₁，a₂＋6，a₃成等差數(shù)列，∴a₁＋a₃＝2(a₂＋6)，即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，得p＝2.
依題意知，a_n＋1＝a_n＋2×3ⁿ，
當(dāng)n≥2時(shí)，a₂－a₁＝2×3¹，a₃－a₂＝2×3²，…，a_n－a_n－1＝2×3^n－1.
等號(hào)兩邊分別相加得a_n－a₁＝2(3¹＋3²＋…＋3^n－1)＝2×＝3ⁿ－3，
∴a_n－a₁＝3ⁿ－3，∴a_n＝3ⁿ(n≥2)．
又a₁＝3適合上式，故a_n＝3ⁿ.
(2)證明:∵a_n＝3ⁿ，∴b_n＝.
∵b_n＋1－b_n＝－＝ (n∈N^*)．
若－2n²＋2n＋1<0，則n>，
即當(dāng)n≥2時(shí)，有b_n＋1<b_n.
又因?yàn)?i>b₁＝，b₂<.故b_n≤