將一塊圓心角為，半徑為20cm的扇形鐵片裁成一塊矩形，如下圖所示有兩種裁法：(讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，如圖(1)；或讓矩形一邊與扇形的弦AB平行，如圖(2)，請問哪一種裁法能得到最大面積的矩形？并求出這個(gè)最大值．

答案：
解析：

　　解：在圖(1)中，連結(jié)OM，設(shè)∠AOM＝θ(＜θ＜)則矩形PQMN的面積為＝|PQ|·|QM|＝sinθcosθ＝200

　　在圖(2)中，過O作OD⊥AB，分別交PQ、MN于E、F，則∠AOD＝，設(shè)∠AOM＝(＜＜)，則|MF|＝40sin(－)．

　　在△OMQ中，由正弦定理，得

　　∴|MQ|＝

　　∴矩形PQMN的面積為＝|MN|·|MQ|＝

　　

　　∴當(dāng)，即時(shí)，有最大值為

　　∵＞200，∴第二種裁法能得到最大面積是的矩形．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將一塊圓心角為
π
3
半徑為a的扇形鐵片截成一塊矩形，如圖，有兩種裁法：讓矩形一邊在扇形的一半徑OA上（圖1）或讓矩形一邊與弦AB平行（圖2）
（1）在圖1中，設(shè)矩形一邊PM的長為x，試把矩形PQRM的面積表示成關(guān)于x的函數(shù)；
（2）在圖2中，設(shè)∠AOM=θ，試把矩形PQRM的面積表示成關(guān)于θ的函數(shù)；
（3）已知按圖1的方案截得的矩形面積最大為
3
6
a2，那么請問哪種裁法能得到最大面積的矩形？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

將一塊圓心角為，半徑為20cm的扇形鐵片裁成一塊矩形，如圖有兩種裁法：讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB平行，請問哪種裁法能得到最大面積的矩形，并求出這個(gè)最大值。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將一塊圓心角為，半徑為㎝的扇形鐵片裁成一塊矩形，有如圖(1)、(2)的兩種裁法：讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB平行，請問哪 種裁法能得到最大面積的矩形？并求出這個(gè)最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

課外研究題：將一塊圓心角為，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請你設(shè)計(jì)裁法，使裁得矩形的面積最大?并說明理由．

教學(xué)建議：這是一個(gè)研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容，可讓學(xué)生在課外兩人一組合作完成，寫成研究報(bào)告，在習(xí)題課上讓學(xué)生交流研究結(jié)果，老師可適當(dāng)進(jìn)行點(diǎn)評。

參考答案：這是一個(gè)如何下料的問題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑上，或讓矩形一邊與弦平行。從圖形的特點(diǎn)來看，涉及到線段的長度和角度，將這些量放置在三角形中，通過解三角形求出矩形的邊長，再計(jì)算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問題的結(jié)論．

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