下列命題中所有假命題的序號為
②④
②④

①y=sinxcosx的周期為π,最大值為
1
2
;  ②若x是第一象限的角,則y=sinx是增函數(shù);③在△ABC中,若sinA=sinB,則A=B;  ④f(x)=sinx+cosx既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù);  ⑤y=cos(2x+
π
4
)
的一條對稱軸為x=-
π
8
分析:①把函數(shù)解析式利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡為一個角的正弦函數(shù),找出ω的值,代入周期公式T=
|ω|
,即可求出函數(shù)的最小正周期,同時根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到函數(shù)的最大值,進而做出判斷;
②可舉一個反例,比如390°>30°,且兩角都為第一象限角,但是兩角的正弦值相等,故此函數(shù)在第一象限不是增函數(shù),本選項為假命題;
③在△ABC中,若sinA=sinB,得到兩角相等或互補,但是兩角為三角形的內角,可得兩角不可能互補,故兩角相等,本選項為真命題;
④把函數(shù)解析式利用特殊角的正弦函數(shù)及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),根據(jù)正弦函數(shù)為奇函數(shù)可得原函數(shù)也為奇函數(shù),故本選項為假命題;
⑤根據(jù)余弦函數(shù)的對稱性,令角度為kπ,求出x的值即為函數(shù)的對稱軸,即可作出判斷.
解答:解:①y=sinxcosx=
1
2
sin2x,
∵ω=2,∴T=
2
=π,
又sin2x∈[-1,1],
∴函數(shù)的最大值為
1
2
,本選項為真命題;
②由于390°>30°,且都是第一象限角,sin390°=sin30°=
1
2
,
故函數(shù)y=sinx在第一象限不是增函數(shù),本選項為假命題;
③在△ABC中,若sinA=sinB,得到A=B或A+B=π(舍去),
∴A=B,本選項為真命題;
④f(x)=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
),
∵正弦函數(shù)sin(x+
π
4
)為奇函數(shù),
∴函數(shù)f(x)=sinx+cosx為奇函數(shù),本選項為假命題;
y=cos(2x+
π
4
)
,
令2x+
π
4
=kπ,解得x=
2
-
π
8
,
當k=0時,函數(shù)的對稱軸為x=-
π
8
,
∴函數(shù)的一條對稱軸為x=-
π
8
,本選項為真命題,
故答案為:②④
點評:此題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的定義域與值域,正弦函數(shù)的奇偶性,以及余弦函數(shù)的對稱性,熟練掌握正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質是解本題的關鍵.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

給出下列五個命題:
①命題“任意x∈R,x2≥0”的否定是“存在x∈R,x2≤0”;
②若等差數(shù)列{an}前n項和為Sn,則三點(10,
S10
10
),(100,
S100
100
),(110,
S110
110
)共線;
③若函數(shù)f(x)=x2+(a+2)x+b,x∈[a,b]的圖象關于直線x=1對稱,則f(x)的最大值為30;
④在△ABC中,若cos(2B+C)+2sinAsinB=0,則△ABC一定是等腰三角形;
⑤函數(shù)||x-1|-|x+1||≤a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是[2,+∞).
其中假命題的序號是
①④
①④
.(填上所有假命題的序號)

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科目:高中數(shù)學 來源:2010年上海市高三數(shù)學基礎復習試卷1(文科)(解析版) 題型:解答題

下列命題中所有假命題的序號為   
①y=sinxcosx的周期為π,最大值為;  ②若x是第一象限的角,則y=sinx是增函數(shù);③在△ABC中,若sinA=sinB,則A=B;  ④f(x)=sinx+cosx既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù);  ⑤的一條對稱軸為

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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年江西省高三10月月考理科數(shù)學卷 題型:填空題

給出下列五個命題:

    ①命題的否定是;

    ②若等差數(shù)列項和為,則三點共線;

    ③上單調遞減;

    ④在中,若一定是等腰三角形。

⑤函數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是。

其中假命題的序號是       。(填上所有假命題的序號)

 

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

下列命題中所有假命題的序號為______.
①y=sinxcosx的周期為π,最大值為
1
2
;  ②若x是第一象限的角,則y=sinx是增函數(shù);③在△ABC中,若sinA=sinB,則A=B;  ④f(x)=sinx+cosx既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù);  ⑤y=cos(2x+
π
4
)
的一條對稱軸為x=-
π
8

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