Question

如圖，已知圓心坐標為M(

3

，1)的⊙M與x軸及直線y=

3

x均相切，切點分別為A、B，另一個圓⊙N與⊙M、x軸及直線y=

3

x均相切，切點分別為C、D．
（1）求⊙M和⊙N的方程；
（2）過點B作直線MN的平行線l，求直線l被⊙N截得的弦的長度．

Answer 1

分析：（1）連接MA，根據⊙M與x軸相切得MA⊥OA，根據圓心坐標M(

3

，1)得到圓的半徑為1，寫出⊙M的方程；設出⊙N的半徑r，利用相似求出r，并求出圓心N的坐標，即可得到⊙N的方程；
（2）由對稱性可知，所求的弦長等于過點A且與直線MN平行的直線被⊙N截得的弦長，根據點A的坐標和直線MN的斜率求出弦長的方程，然后利用點到直線的距離公式求出圓心N到弦的弦心距，然后利用勾股定理即可求出弦．

解答：解：（1）由于⊙M與∠BOA的兩邊均相切，故M到OA及OB的距離均為⊙M的半徑，則M在∠BOA的平分線上，
同理，N也在∠BOA的平分線上，即O，M，N三點共線，且OMN為∠BOA的平分線；
∵M的坐標為(

3

，1)，
∴M到x軸的距離為1，即⊙M的半徑為1，
∴⊙M的方程為(x-

3

)2+(y-1)2=1，
設⊙N的半徑為r，其與x軸的切點為C，連接MA、MC，
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，
即

2

3+r

=

1

r

，解得r=3；
∴OC=3

3

，點N坐標為(3

3

，3)；
∴⊙N的方程為(x-3

3

)2+(y-3)2=9．
（2）由對稱性可知，所求的弦長等于過點A且與直線MN平行的直線被⊙N截得的弦長，此弦的方程是y=

3

3

(x-

3

)，即：x-

3

y-

3

=0，
∵圓心N到該弦的距離d=

3

2

，
∴所求弦長=2

r2-d2

=

33

．

點評：這是一道直線與圓的方程的綜合運用題，主要考查學生會利用垂徑定理得直角三角形求弦長的方法，同時要求學生掌握點到直線的距離公式．