Question

17．已知f（x）=lnx-mx，m∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若m=0，求證：對于任意的0＜x₁＜x₂，恒有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＜\frac{1}{x_1}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過m的范圍，求解函數(shù)的單調(diào)性．
（2）利用不等式轉(zhuǎn)化函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)通過導(dǎo)數(shù)，求解證明即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}$
當(dāng)m≤0時，f'（x）≥0，∴f（x）在（0，+∈）是增函數(shù)．
當(dāng)m＞0時，f（x）在（0，$\frac{1}{m}$）是增函數(shù)，（$\frac{1}{m}$，+∞）是減函數(shù)．
（2）對任意的$0＜{x_1}＜{x_2}，\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＜\frac{1}{x_1}$，
可變形為$\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}＜\frac{1}{x_1}?ln{x_2}-ln{x_1}＜\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_1}=\frac{x_2}{x_1}-1$$?ln\frac{x_2}{x_1}＜\frac{x_2}{x_1}-1?lnt＜r-1（t=\frac{x_2}{x_1}＞1）$，
令φ（t）=lnt-t+1，$φ'（t）=\frac{1}{t}-1＜0$，
∴φ（t）在（1，+∞）單調(diào)遞減，
∴φ（t）＜φ（1）=0．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．考查計算能力．