設(shè)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,若S3+S6=2S9
(Ⅰ)求數(shù)列的公比q;
(Ⅱ)求證:2S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列.
分析:(Ⅰ)分公比等于1,驗(yàn)證數(shù)列是否成立;公比不等于1,利用前n項(xiàng)和公式求出公比,即可;
(Ⅱ)通過公比,推出
S6
2S3
=
S12-S6
S6
,即可證明數(shù)列是等比數(shù)列.
解答:解 (Ⅰ)當(dāng)q=1時(shí),S3+S6=9a1,2S9=18a1.因?yàn)閍1≠0,所以S3+S6≠2S9,由題設(shè)q≠1.從而由S3+S6=2S9
a1(1-q3)
1-q
+
a1(1-q6)
1-q
=2•
a1(1-q9)
1-q
,化簡(jiǎn)得2q9-q6-q3=0,
因?yàn)閝≠0,所以2q6-q3-1=0,即(2q3+1)(q3-1)=0.又q≠1,所以q3=-
1
2
,q=
3-
1
2

(Ⅱ)由q3=-
1
2
S6
2S3
=
1
2
S6-S3+S3
S3
=
1
2
•(
S6-S3
S3
+1)=
1
2
•(q3+1)
=
1
2
(-
1
2
+1)
=
1
4

S12-S6
S6
=q6=(-
1
2
)2=
1
4
,所以
S6
2S3
=
S12-S6
S6
,從而2S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列.
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查數(shù)列的基本性質(zhì),注意等比數(shù)列公比的討論,等比數(shù)列的證明,考查計(jì)算能力,?碱}型.
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