Question

已知函數，數列{a_n}，{b_n}滿足：a₁＞0，b₁＞0，a_n=f（a_n-1），b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2）．
（1）求a₁的取值范圍，使得對?n∈N^*，都有a_n+1＞a_n；
（2）若a₁=3，b₁=4，求證：對?n∈N^*都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）由=，知==．由a_n＞0（n∈N^*），知要使對?n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，只須a₂＞a₁，由此能求出a₁的取值范圍．
（2）當a₁=3時，由a_n+1＞a_n，得，又a₁=3，，由b_n+1＜b_n，得（n∈N），由此能夠證明有．
解答：（1）解：∵=，（1分）
∴=
==
=（4分）
∵當x＞0時，又a₁＞0，
∴a_n＞0（n∈N^*）
要使對?n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，只須a₂＞a₁，即
解得．（6分）
（2）證明：當a₁=3時，由（1）知a_n+1＞a_n，即，解得，
又a₁=3則．（7分）
當b₁=4時，由（1）知b_n+1＜b_n，得（n∈N^*）（8分）
∴b_n-a_n＞0（n∈N^*）
∴．（n∈N^*）（12分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．