Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD=4，已知AD=5，BC=4，CD=

3

，點E，F分別在AB，AD上，且EF⊥AB，沿EF將△AEF折起到△A′EF的位置，使A′E⊥EB，連接A′B，A′C，A′D
（1）求證：A′E⊥平面BCDFE；
（2）試確定點E的位置，使平面A′EF與平面A′BC所成的二面角的余弦值為

3

4

．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得A′E⊥EB，A′E⊥EF，由此能證明A′E⊥平面BCDFE．
（2）以E為原點，EF為x軸，EB為y軸，EA′為z軸，建立空間直角坐標系，設BE=t，則EA′=2-t，0＜t＜2，分別求出平面BCA′的法向量和平面A′EF的法向量，由此利用向量法能求出當BE=2-

2 3

7

時，平面A′EF與平面A′BC所成的二面角的余弦值為

3

4

．

解答： （1）證明：∵點E，F分別在AB，AD上，且EF⊥AB，
沿EF將△AEF折起到△A′EF的位置，使A′E⊥EB，
∴A′E⊥EB，A′E⊥EF，
又EB∩EF=E，∴A′E⊥平面BCDFE．
（2）∵EF⊥AB，A′E⊥平面BCDFE，
∴以E為原點，EF為x軸，EB為y軸，EA′為z軸，
建立空間直角坐標系，
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，
AD=5，BC=4，CD=

3

，∴AB=2，
設BE=t，則EA′=2-t，0＜t＜2，
∴E（0，0，0），A′（0，0，2-t），F（4-2t，0，0），
B（0，t，0），C（

4 3

3

，t+

2 3

3

，0），

BA′

=（0，-t，2-t），

BC

=（

4 3

3

，

2 3

3

，0），
設平面BCA′的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BA′ =-ty+(2-t)z=0 n • BC = 4 3 3 x+ 2 3 3 y=0

，
取x=1，得

n

=（1，-2，

2

t-2

），
又平面A′EF的法向量

m

=（0，1，0），平面A′EF與平面A′BC所成的二面角的余弦值為

3

4

．
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

-2

5+( 2 t-2 )2

|=

3

4

，
由0＜t＜2，解得t=2-

2 3

7

，
∴當BE=2-

2 3

7

時，平面A′EF與平面A′BC所成的二面角的余弦值為

3

4

．

點評：本題主要考查直線與平面、平面與平面之間的平行、垂直等位置關系，考查線面垂直、二面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，是中檔題．